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曜日を計算する公式

※本記事は「科学豆知識アドベントカレンダー(http://www.adventar.org/calendars/232)」の一環として書いています。


今日 2013年12月13日 は 「13日の金曜日」 ですね。
13日の金曜日といえば、英語圏では不吉な日として知られていて、よくないことが起こる日であると言われています。


ここで1つ疑問が。
「13日の金曜日は、何年に一回起きるでしょうか。」


この問題を考えるときには、「ある年月日に対して曜日を計算できる式」があると便利そうですね。

そんな魔法の公式があるんです。

それが、ツェラーの公式 です。

ファイル 29-1.png

ちょっと複雑な式に見えるかもしれませんね。でも、それほど難しい計算は必要ありません。
右辺を計算した結果、最終的に得られた h が 曜日を表す数値となるのです。

まず、y: 年, m: 月, d: 日 です。

ただし、1月、2月はそれぞれ前年の 13月、14月 として扱います。
たとえば 20142月3日 は、 201314月3日 とするわけです。


[ ] は 見慣れない記号かもしれません。
ガウス記号と呼ばれるもので、小数点以下を切り捨てる記号です。

たとえば [23.4] であれば、
[23.4] = 23
のように計算できます。

[ ]の中身が整数のとき、たとえば、[38]であれば
[38] = 38
となります。


mod もあまり見かけませんね。
mod は 次に来る数で割った余りを求める記号です。

たとえば 13 mod 7 であれば、
13 ÷ 7 = 1 あまり 6 ですから、
13 mod 7 = 6
のように計算できます。


計算結果の h は 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 のいずれかの整数となります。
曜日は、次のように対応させます。

ファイル 29-2.png


それでは具体的に、今日の日付 2013年12月13日金曜日 であることを計算して確かめてみましょう。

2013年12月13日の場合、

y = 2013
M = 12
d = 13

ですから、次の図のように計算してみましょう。

ファイル 29-3.png

h = 5 となりましたので、表に照らし合わせるとたしかに金曜日ですね。


このツェラーの公式を使うと

「13日の金曜日は、毎年必ず 1回以上 起きる」

ということが証明できてしまいます。


証明は簡単です。
ツェラーの公式の"年"を除いた"月日"の部分に d = 13, m には 1 から 12 までを代入し、答え が 0 から 6 まで 7 パターン出現することを確認すればいいのです。
気になる方はぜひ挑戦してみてください。

以上、数学大好き辻順平でした。

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